Как я понимаю: создается POST AJAX-запрос к указанному адресу.
Нет, происходит субмит формы, никакого аякс запроса по умолчанию не создается, обычный запрос, пост или гет зависит от метода указанного в форме.
Но после получения ответа от сервера (в моем случае status=200) браузер переходит на адрес запроса в показывает ответ запроса в html.
Так и должно быть, браузер отсылает форму и переходит по урл отсылки чтобы получить ответ.
Как это обработать, как сделать так, чтобы браузер никуда не переходил и не показывал пользователю ответ?
Гуглите "отправка формы ajax" - миллион статей.