1. Ваш вопрос не имеет никакого отношения ни к PHP, ни к Laravel (по крайней мере прямого отношения).
2.
и скорее всего мне придется еще делать деплой проекта на VPS
Скорее всего, Вам нужно было уточнить этот вопрос у заказчика, лично.
3. Вполне вероятно, что у заказчика есть сис. админ, который настроил собственно сервер VPN'а и способен настроить и мост (VPN или что-то ещё) между конечным VPS'ом и сервером API заказчика (и не исключено, что именно он и должен/будет заниматься этим вопросом).
4. Если этим вопросом должны заниматься принципиально Вы, и единственный доступный вариант это соединение через VPN, то наиболее вероятных вариантов тут два:
а) VPS бывают не только на Linux'е, ещё и на Windows'е например (насколько я понимаю, Вы используете "FortiClient SSL VPN" именно под этой ОС?)
б) Возможно есть официальный пакет под Linux (это лучше уточнить у поддержки этого самого "FortiClient"), а так же документация по его настройке.