Vue-slick - это не более чем обёртка над обычным slick'ом, так что vue про клонированные слайды ничего не знает, создаёт их не он. Соответственно, и обработчикам событий, добавляемым с помощью vue, там взяться неоткуда.
Делегируйте обработку событий - обработчик вешается на корневой элемент слайдера, был ли клик выполнен по слайду определяется по наличию класса
slick-slide у предков целевого элемента, номер слайда можно определить через атрибут
data-slick-index (или можете назначать слайдам какие-то свои классы/атрибуты для выяснения, где был произведён клик).
https://codesandbox.io/s/vue-template-3d5h7 
