Как следить на нажатой клавишей уже подсказали (но я думаю, вы это сами уже знаете, судя по ответам). Подскажу, как имитировать нажатие клавиши. Нужно найти элемент, который ожидает нажатие клавиши, и вызвать у него метод dispatchEvent, с передачей объекта события. Возьмем например событие KeyDown. В скрипте на сайте стоит обработчик события keydown, и в нем описана фильтрация того, что нажата клавиша 2, фильтрация может быть по одному из следующих свойств
e.which, e.code, e.key, e.keyCode, e.shiftKey
нужно посмотреть, какие свойства нужны (можно не смотреть, и отправить их все), и назначить их в наш объект события KeyDown. Пример для клавиши 2
let eventObj = new KeyboardEvent('keydown', {
which: 50, code: 'Digit2', key: '2', keyCode: 50, shiftKey: false
};
и этот объект нужно передать в dispatchEvent
document.getElementById('элемент').dispatchEvent(eventObj);
Пример
https://jsfiddle.net/Vlad_IT/t3ofjr4w/