Первый использует history api, второй фрагменты. Использовать надо первое, потому что его делали на замену фрагментов. Либо же если невозможно корректно настроить редиректы в http сервере, тогда есть смысл с фрагментами связывать. В реакт нативе ни то, ни другое использоваться не может, там должны перехватываются роуты, и на их базе динамически создаваться активити.
Оба из них создадут специальный объект истории. Вы должны использовать BrowserRouter, если у вас есть сервер, который отвечает на запросы, и HashRouter, если вы используете статический файловый сервер
Простой