если не брать WooCommerce, а приложение у вас все равно на АПИ работает, то кратко вот так:
1) Берете сервис, например onesignal - неплохо работает с уведомлениями.
2) разрешаете устройству получать уведомления, подписываете устройство на onesignal.
3) при формировании заказа, отсылаете pushId в API ваше.
4) при добавлении заказа в систему, добавляете в дополнительное поле push номер.
5) добавляете событие на смену статуса заказа - отправка пуш сообщения с сервера через апи.
Этап 3 заметьте, в этом случае работает только от девайся, с которого произошла покупка. Т.е. вы можете даже не регистрировать человека в системе. В более сложном случае, вы должны хранить push каждого девайса, с которого человек заходит. Но это уже связка к аккаунту человека.