У кнопки есть только класс. Побаловался в фидле - с классом видимо работает по другому (может как-то связано с тем, что рассматривается группа элементов, экземпляры класса? ).
Возможно. Главное выбрать где хранить это колличество кликов. Либо в атрибуте data-click=0, к примеру. И после каждого клика прибавлять к этому атрибуту 1. Или можно записать в localStorage и по аналогии при каждом клике прибавлять единицу. И в при каждом клике проверяешь, какой он по счету. Если data-click будет иметь значение 6, значит выполняете действие.