<button id="btn1">Показать / Скрыть</button>
<div class="elem">
Этот блок сохраняет свою видимость даже после перезагрузки и на других страницах
</div>
<script>
$(function(){
if (!window.localStorage) { return false; }
if (window.localStorage.getItem("showelem") == "1") {
$(".elem").show();
} else {
$(".elem").hide();
}
$("#btn1").click(function(){
if (window.localStorage.getItem("showelem") == "1") {
$(".elem").hide();
window.localStorage.setItem("showelem", "0");
} else {
$(".elem").show();
window.localStorage.setItem("showelem", "1");
}
});
});
</script>