Сейчас вы при каждом клике делаете
var valStage = 1
Вынесите это в самую первую строчку.
var valStage = 0 // изначально 0, при клике увеличится же
$('.calk-section__btns .link-next').click(function(){
var spanStage = '.calk-section__stages span'
if($(spanStage).hasClass('active')){
/* это убираем
var valStage = 1
valStage = ++valStage
вместо него пишем: */
valStage++
var newsStage = '.calk-section__stages span[name='+valStage+']'
console.log(valStage+' '+newsStage)
$(spanStage).removeClass('active')
$(newsStage).addClass('active')
}
})