В chrome обработчик родительского узла перехватывает клик и обработчик дочернего элемента не срабатывает. FF выполняет оба обработчика. Если оставить два одинаковых события (только onmousedown или только onclick), все работает корректно.
HTML
<section id = "parent">
<div id = "child">
Child
</div>
</section>
JS
var child = document.querySelector("#child");
var parent = document.querySelector("#parent");
child.onclick = function(){
alert("Привет, я - Child");
}
parent.onmousedown = function(){
alert("Привет, я - Parent");
}
Вот пример на
jsfiddle