Он не для этого предназначен.
Но можно и так.
Хотя, изначально подразумевается, что ваше приложение целиком помещено в контейнер, вместе со всеми конфигурационными файлами и вместе с, как вы выражаетесь, "директорией самого сайта".
Монтируется только то, что изменяется:
например, логи (хотя в Docker считается нормой логи снимать с stdout и stderr)
загружаемые пользователями файлы (хотя в подобных системах их все больше хранять на специализированных файловых сервисах типа AWS S3, Google Cloud, Openstack Swift)
файлы базы данных (хотя не рекомендуется весьма и весьма аккуратно использовать такие нагруженные stateful-приложения в Docker)
Изначально Docker предполагает, что вы просто взяли контейнер, перенесли куда угодно - и оно работает.
Поэтому ответ - НЕТ.
Вы используете Docker не по его задуманному авторами назначению.
Правда, сие не означает, что так делать ни в коем случае нельзя. Просто вы можете столкнуться с неожидаемыми проблемами. Например, тут недавно был вопрос - автор использовать Docker в MacOSX для компиляции файлов. И именно подключенная (смонтированная) папка старшно тормозила всю работу
