Можете удалять содержимое этих файлов. Сайту они не нужны. Но если завтра выяснится что что-то произошло и надо найти причину, и её можно было выяснить посмотрев в лог, то вы пожалеете что просто взяли и удалили.
Обычно делается т.н. ротация логов - копирование логов в новый файл при достижении некотого лимита. Ну например, если накопилось 10 мегабайт логов, то копируем их в файл logname.log.1, а текущий файл очищаем. Ещё раз накопилось - переименовываем logname.log.1 в logname.log.2 и снова копируем содержимое лога в logname.log.1. При этом часто логи с цифрами архивируются, чтобы занимали меньше места. Ну и чтобы забыть про то что логи могут забить вам диск, какой-нибудь logname.log.10 уже не переписывается в следующий файл, а удаляется.
Обычно ротация делается автоматически той программой (сайт, web-сервер, СУБД), которая пишет эти самые логи, её надо только настроить. Но программа может и не уметь делать ротацию. Тогда можно написать какой-нибудь bash скрипт, который будет запускаться по крону раз в N часов и делать ротацию указанного файла.
А вообще логи это обширная тема. Бывают случаи, когда необходимо поднимать отдельную машину, да ещё и не одну, чтобы собирать логи от всякого ПО и показывать их в удобном виде.