Добавляете свойство, которое будет указывать, сколько символов надо показать:
data: () => ({
showChars: 0,
...
}),
Вырезаете соответствующее количество символов из полной строки и отображаете:
computed: {
typedString() {
return this.string.slice(0, this.showChars);
},
},
<h2>{{ typedString }}</h2>
Запускаете интервал, по которому увеличиваете длину отображаемой строки:
mounted() {
const intervalID = setInterval(() => {
if (++this.showChars === this.string.length) {
clearInterval(intervalID);
}
}, 50);
},
https://jsfiddle.net/397wqoby/ 
