Предположим, на ftp корневой папкой является uploads. Тогда можно сделать так:
$file = $request->file('file'); // Файл из формы
$url = 'http://adress-ftp.com/uploads/' . $file->getClientOriginalName(); // Cсылка по которой будет доступен загруженный файл
Storage::disk('ftp')->put('uploads/' . $file->getClientOriginalName(), $file);
'ftp' - указывает какой диск мы используем для загрузки. Для этого в config/filesystems.php в массив нужно добавить данные этого диска. Название может быть любым, главное чтобы оно соответствовало названию диска в скрипте загрузки. Подробнее можно почитать
в официальной документации.
И не забудьте подключить фасад Storage в контроллере, где будет загрузка файла.
use Illuminate\Support\Facades\Storage; 
