Это ваш выбор. Если вам нужно сохранить у себя в базе email, то шлёте запрос на свой сервер, а оттуда, после сохранения, запрос к стороннему API. Или же можете отправить через ajax из js себе запрос и запрос стороннему серверу... Делайте, как вам проще, если разницы нет.
P.S. Но запрос к стороннему серверу из php никто не откопает, по крайней мере, в отличии от JS.