Через update, можно как написано выше через $push но как мы знаем только добовляет новый элемент в массив,
Так же можно через { $set: { "array.$.value" : "" } } но для этого нужно сделать точную выборку к примеру -
db.board.update({"array.value" : "5"), { $set: {"array.$.value": "15"} })