1. Сначала данные отправляются через форму на сервер методом POST в виде параметров внутри params[:contacts].
2. В контроллере обрабатываешь полученные данные и отправляешь сообщение при помощи ActionMailer / gem mail, предварительно наладив настройки SMTP. Провайдерами SMTP могут быть Gmail, Mailgun, ...