1) Получить и задать позицию курсора.
Ссылка
2) Получаешь содержимое textarea (str), берешь позицию курсора (pos)
3) str = str.substring(0, pos - 1) + str.substring(pos); // либо через метод slice
4) Помещаешь str в textarea
5) Задаешь позицию для курсора