Ошибка говорит сама за себя - приходит неверный JSON. Скорее всего приходит html ответ (например верстка страницы index.php) и поэтому JSON.parse падает.
Как вы правильно указали, вам нужно разобраться, что необходимо ответить на запрос и сделать это для bitrix (то есть необходимо покопаться в исходном коде скрипта формы). Не факт, что это будет единственная ошибка. Полностью функционал формы, наверняка, перетащить можно, но возможно в bitrix есть готовое свое решение, что будет гораздо быстрее? Либо взять стандартную форму и допилить ее до состояния компонента, который вы переносите.
Простой