1. Ваш js код посылает запрос php скрипту, php скрипт что-то делает и выдает ответ, тогда в js происходит событие success и информация, которую отдал php скрипт, будет в переменной (data).
2. Для данной задачи можно использовать не curl, а банальный file_get_contents.
Вы делаете запрос на нужный url и выводите ответ(он будет в формате json => удобнее его обрабатывать уже на js).
3. Я бы немного переделал код и передавал бы в php скрипт не ссылку, а просто id группы ВК.
<?php
$vk_url = "https://api.vk.com/method/groups.getMembers?group_id=".$_GET["group_id"];
$vk_result = file_get_contents($vk_url);
echo $vk_result;
?>
А js код вот так: (так как Вы уже используете jQuery, то можно брать от него всё и не использовать document.getElementById)
function get_group(){
$.ajax({
url: "do_request.php",
method: "GET",
cache: false,
data:"group_id=" +$("#group_id").value,
success:function(data){
console.log(data); //здесь будет ответ от вашего php скрипта
$("#output_data").text("Работает");
},
error:function(jqXHR,textStatus){
alert("Ошибка №"+jqXHR.status+": "+textStatus);
}
})
}