Общий принцип: нужна таблица в базе данных, страница с формой для подписка, логика для сохранения имейла в ту таблицу, интерфейс для просмотра списка подписчиков.
Дополнительные плюшки: редактор писем и массовые рассылки либо интеграция с внешними системами для рассылки писем.
Как вариант - установи чужой плагин, посмотри как он работает и изучи его исходный код.
Самый простой -
https://wordpress.org/plugins/email-subscription/ 
