Ну есть несколько вариантов:
1. Переделать сайт так, чтобы это было одностраничное приложение (SPA). В этом деле вам помогут фреймворки вроде Angular.js, Ember.js или библиотеки вроде Backbone.js
2. Сделать пустую страницу с плеером, и на ней же, с размерами 100% на 100% разместить iframe, внутри которого уже крутить обычный сайт. Так сделано например тут:
redstarmusic.ru
3. Немножко подправить плеер так, чтобы он периодически сохранял позицию воспроизведения в Localstorage или в cookie, когда произойдет переход на другую страницу, плеер прочитает сохранение и продолжит воспроизведение музыки с той же самой точки, где был на предыдущей странице (минус способа в том, что будет небольшая пауза в воспроизведении при переходе между страницами).
