Проверить сначала саму кнопку - отключить провода кнопки от материнской платы и аккуратно замкнуть контакты на материнской плате.
Проверить блок питания и материнскую плату на вздувшиеся конденсаторы - если есть, то на материнской плате заменить на новые такого же типа и ёмкости, если на БП - заменить БП на новый, а старый выбросить.
Полностью разобрать ПК и собрать на столе только мать, спикер, проц с кулером, память, блок питания и попробовать включить - может заработать, может пищать спикером - тогда смотреть мануал материнской платы. если включается - вставить видеокарту и проверить с ней.
Пробовать ПК с другим исправным БП.
БП попробовать подключить к нагрузке (например хотя бы несколько вентиляторов, которые не жалко) и попробовать включить замыканием зелёного (PS_ON, 14) кабеля на землю (чёрный) скрепкой или проволочкой в разъёме материнской платы. Старые БП могут не запуститься без нагрузки, а некоторые даже откинуть копыта. В БП может стоять предохранитель - если он перегорел, то есть вероятность что и БП тоже - имеет смысл попробовать заменить предохранитель и попробовать включить. Если запустился - то мультиметром замерить напряжения по всем линиям на соответствие норме.
Дальше диагностировать каждую железку отдельно с другим железом, если всё вместе всё еще не работает.
Простой
