С использованием библиотеки selenium python, полагаю, никак.
Разве что костылями выполнять через javascript:
from selenium import webdriver
driver = webdriver.Chrome()
driver.get("https://google.com")
driver.execute_script("window.localStorage.setItem('key', 'value');")
driver.execute_script("window.sessionStorage.setItem('key', 'value');")
local_storage_value = driver.execute_script("return window.localStorage.getItem('key');")
session_storage_value = driver.execute_script("return window.sessionStorage.getItem('key');
Но я бы посоветовал использовать Playwright, там есть поддержка управления сессиями и хранилищами в более удобном виде.