За парсинг не шибко разбираюсь, но примерный алгоритм дать могу
Если через бота: Сделать диспетчер на все сообщения, сделать проверку на chat_id, дать боту админа в группе и доступ к сообщениям, записывать сообщения в бд, через js читать бд, выводить на сайт
Если через юзер-бота: Сделать диспетчер, такую же проверку, записывать сообщения в бд, читать через js, выводить на сайт
Тоесть если делать обычного бота, то вам придется столкнуться с некоторыми препятствиями
