Используйте onEdit() для отслеживания изменений в ячейках.
Там проверяете тот ли лист, тот ли столбец и т.п. и пишете нужные данные.
Чтобы триггер работал, нужно это сделать полноценным триггером, и переименовать, например в onEditTrigger()
Вот как-то так будет в итоге:
function onEdit(event) {
//Перенос в архив
//Возникает при изменении ячейки
let sheet = event.source.getActiveSheet();//Текущий лист
let address = event.range.getA1Notation().toUpperCase();//Адрес ячейки
let row = event.range.getRow(); //Номер строки
let col = event.range.getColumn(); //Номер столбца
let newValue = event.value; //Новое значение
let oldValue = event.oldValue; //Старое значение
if (["Лист1","Лист2"].indexOf(sheet.getName())==-1) return; //Указываем на каких листах должен работать скрипт
if ([1].indexOf(col)==-1) return; //Указываем в каких столбцах должен работать скрипт
//Можно при желании ещё фильтровать по строке/столбцу (row/col), или по старому/новому значению (oldValue/newValue)
sheet.getRange(row, col+1).setValue(new Date());