Не очень удобный вариант реализации флагов у вас. В любом случае, вот вариант решения:
$(document).on('click', '.number-select__item', function () {
let country = $(this).find('.number-select__country-name').text();
let code = $(this).find('.number-select__dial-code').text();
let classes = $(this).find('.number-select__flag-box div').attr('class'); //добавить
$('.number-select__selected-dial-code').text(`${code} (${country})`);
numberSelect.slideToggle('fast');
$('.number-select__selected-dial-code').prev().attr('class', classes); //добавить
});
$(document).click(function(){
numberSelect.slideUp('fast');
});