Связующим мостом может послужить API между ними - Veu.js будет выполняться видимо в браузере, а PHP на сервере. Нужен сервер, который будет обрабатывать запросы, приходящие от Vue.js и передавать в работу в php. Тот получив запрос, определяет исходя из полученных данных что требуется сделать - внести данные в бд, либо наоборот прочитать их, и затем возвращает ответ обратно. В каком формате передавать данные и как их обрабатывать - это все уже зависит от фантазии