Нужно убрать добавление свойства display: none
let searchValid = false;
$('.search__icons').click(function() {
if(searchValid == false){
$('.search__icons').css('background', '#F8F8F8');
$('.search__input').css('display', 'block');
$('.search__input').css('width', '515px');
$('.search__icons').css('border-radius', '3px 0 0 3px');
$('.search__input').addClass('search__input--anim');
$('.contact__number').css('display', 'none');
searchValid = true;
} else {
$('.search__icons').css('background', '#F9E8FA');
//$('.search__input').css('display', 'none'); - из-за этого не срабатывает анимация
$('.search__input').css('width', '0');
$('.search__input').css('padding', '0');
$('.search__icons').css('border-radius', '3px');
$('.search__input').addClass('search__input--anim');
$('.contact__number').css('display', 'block');
searchValid = false;
}
});