Вариант 1) Вскрыть их расширение и инжектнуться в код. Как минимум можно как бы открыть свой API из их расширения для своих расширений и юзерскриптов.
Вариант 2) Рассматривать браузер, как целостное стороннее приложение. Задача сводится к тому, чтобы автоматизировать работу с клавиатурой и мышью. Здесь мы просто уходим от использования JS, как такового, и начинаем анализировать окна на уровне ОС, их элементы, и изображения на них.