Посмортите на
метод Гаусса. Там получается диагональная матрица путем прибавления одной строки к другим и перестановки строк. Так вот - прибавление одной строки к другой с коэффициентом - это и есть домножение матрицы на трансвекцию.
Единственная проблема - надо переставлять строчки местами. Тут вам поможет класический пазл о помене двух чисел без использования вспомогательных переменных:
a = a + b;
b = a - b;
a = a - b;
Эти три операции поменяют местами a и b. При чем они уже выглядят как трансвекции - только вторая операция не совсем вида
a += b*k.
Но можно чуть чуть поменять:
a = a + b;
b = b - a;
a = a + b;
Тут три трансвекции и строки меняются местами, только одна из них домножается на -1. Но это домножение метод гауса нисколько не меняет.
Вот и ваш алгоритм.
