Алиас выходного поля нельзя использовать во WHERE.
Правильно - использовать копию вычисляющего значения выражения:
SELECT event,
CONVERT_TZ(time, '+00:00', '-04:00') AS time1
FROM events
WHERE CONVERT_TZ(time, '+00:00', '-04:00') between '2021-06-24 00:00:00' AND '2021-06-24 23:59:59'
AND lang = 'ru'
Расширение MySQL также допускает использовать алиас выходного поля в HAVING (при условии что в выражении не используются оконные функции):
SELECT event,
CONVERT_TZ(time, '+00:00', '-04:00') AS time1
FROM events
WHERE lang = 'ru'
HAVING time1 between '2021-06-24 00:00:00' AND '2021-06-24 23:59:59'