Может ли веб-страница записывать действия в браузере без разрешения на это?

JS, насколько я помню, работает только в пределах одной вкладки, доступа к другим он не имеет, поэтому на той вкладке где скрипт запущен он почти что угодно с контентом может делать, а вот на других нет...
Java может иметь доступ к другим, но во 1-х оно отдельно запускается и устанавливается, т.е. это видно, а во 2-х в последних версиях браузеров поддержка Java по умолчанию отключена.

А возможно, что сайт как-то запишет переходы на другие странницы без уведомления?

Ну это же элементарно. Сайт просто отошлет запрос на свой сервер информацию куда вы уходите. Вот и всё.

какие действия вас еще интересуют?

Например как Гууголь делает переход на найденые сайты, через свою промежуточную страницу? Вот так - может, да. А больше ни как.

Список найденных сайтов гугл формирует (на странице под своим доменом), ссылки внутри списка (на странице под своим доменом) - тоже. В чем вопрос?

Не только может, но и записывает. В целях аналитики, например, могут записываться чуть ли не все действия на странице.

VolgaVolga, т.е. страница может записывать что происходит на ней даже без оповещения?

PurgaBot, браузер её в этом не ограничивает, как в случае доступа к видеокамере или микрофону.

достаточно поставить яндекс метрику :)

AlexVWill, а как же реактивность какого-нибудь Vue.js?

Одиночка Айс, а что там?

PurgaBot, меняешь на одной вкладке, меняется на другой