при посещении сайта, не могу отобразить страницу как у вас, а значит вопрос не много не корректный. Подкорректируйте адрес посещения страницы, чтобы люди могли Вам помочь.

При нажатии на кнопку отрабатывает функция встроенная в сайт, js функция, которая отправляет данный POST запрос с json данными.

Вариант 1 - лёгкий, перейти на selenium
Вариант 2 - более тернистый путь, исследовать запрос, создать аналог заголовков, и попробовать в сессии послать его , без прерываний соединения.