Wataru

Звучит в точности как симптомы Undefined Behavior. На самом деле программа вылетает из-за, например, доступа к неправильным указателям. Но во время отладки звезды выстраиваются так, что это некорректное действие не приводит к падению программы.

Добавляйте больше отладочного вывода во всех функциях и между всеми важными кусками кода, например на каждой итерации цикла. Выводите разные строки везде, а в циклах еще и переменные цикла вставляйте.
Выводите в stderr.

Потом смотрите, какую строчку программа вывела последней. Вот от этого вывода в исходнике и до следующего вниз по коду где-то и происходит ошибка. Вот уже проделав эту работу возвращайтесь сюда - на конкретный кусок кода я могу внимательнее посмотреть.

Возможно, там где-то выход за границы массива, Попробуйте еще, например, увеличить все выделенные строчки и массивы в коде раз в 10. Если после этого программа отработает, ищите, где у вас ошибка в логике - почему массивов не хватает.

Там явно больше одного прохода.

Правила видимости функций растут еще из Си. Не знаю конкретно о чем думали, но сделали точно также и в Си++. Когда стали вводить классы от этого наследия отказались, ведь в Си никаких классов и методов нет.

OpenMP работает только со стандартными циклами. У вас же инициализация по i, условие по x, итерация i++. OpenMP просто не умеет понять, сколько там итераций и как их можно распаралелить вообще.

Вам надо сделать так:

const int num_iterations=1000000;
const double h = (b-a)/num_iterations/2.0
x = a;
#pragma  omp  parallel  for  reduction (+:S)
for (int i = 0; i < maxi; i++)
{
    S = S + 1*(x/(x+1));
    x = x + h;
    S = S + 4*(x/(x+1));
    x = x + h;
    S = S + 1*(x/(x+1));
}

Удобнее, если зафиксировать сначала количество итераций, а не шаг h (шаг отсюда вычисляется). Потому что если отрезок нацело не делиться на h, то надо как-то это обрабатывать и вообще, а можно ли так считать?

Я добавил reduction (+:S) в инструкцию openMP, потому что вам надо подсчитать общую сумму же. Без этого каждый поток что-то насуммирует отдельно. Шарить S между потоками сложно - может быть data race.