Vitaly Musin

Проброс GET запроса у вас написан правильно, попробуйте на другой свой хост проксировать и смотрите там access логи. Для просмотра, что делает nginx здесь хорошо описано как дебажить https://serverfault.com/a/435575

Вам нужно прикрутить любого годного оператора самостоятельно. Авторизацию в приложении в любом случае за вас никто не сделает, а отправить смс из приложения не сложная задача.

Советую прочитать эту статью, чтобы сложилась картинка: habrahabr.ru/company/yandex/blog/265569

Такой сервис не знаю, но думаю дешевле отправлять смс клиенту с проверочным кодом. Отправить смс через API просто и дешево, стоит порядка 10-30 копеек за смс.