Для отладки стоит использовать такую схему:
$git_branches = exec('git push origin master:'.$_GET["REMOTE"].' 2>&1', $stdin, $stderr);
То есть shell_exec меняем на exec, и добавляем "2>&1"; Тогда сможем видеть ошибки.
Сама команда commit не работала, потому что в конфиге был не верно задан пользователь. И потому что у пользователя было не достаточно прав. Назначил его владельцем папки .git. Проблема решилась
