Виктор

Оберните 'DATE(created_at)' в DB::raw.

Не очень понял, что вам нужно, но есть метод using для отношения BelongsToMany, который позволяет задать модель для Pivot таблицы. Думаю, что у нее можно прописать дополнительное отношение.

migrate накатывает ненакатанные миграции, просто вызови ещё раз.