// элементу присвойте id="langswitch"
// таймаут на 10 сек
let langswitchTimeout = setTimeout(() => {
document.querySelector('#langswitch').classList.add('langswitch__hidden');
}, 10000);
// при наведении курсора - отменить скрытие
document.querySelector('#langswitch').addEventListener('mouseover', function () {
if (langswitchTimeout) clearTimeout(langswitchTimeout);
});
// скрыть/показать по клику на .langswitch__toggler
document.querySelector('#langswitch .langswitch__toggler').addEventListener('click', function (e) {
e.target.closest('.langswitch').classList.toggle('.langswitch__hidden');
});
Теперь элемент будет скрываться/отображаться с помощью класса langswitch__hidden. А с css разберетесь сами.