Ярослав

После elem.appendChild(record); напишите строку doc.appendChild(elem); Тогда все должно появиться в файле:
Только у Вас каждый раз будет перезаписываться сообщение в файл ибо вы его открываете заново на запись, уничтожая содержимое. Возможно, так задумано. Если нет - используйте флаг QIODevice::Append.

Смею предположить, что выводятся все, но очень быстро и в конце остается только один, последний ,который Вы и видите. Вот эта строка ui->textBrowser->setText(xmlReader.text().toString()); затирает предыдущее значение и вставляет новое. Используйте append() метод и тогда появятся все.