Не работал с api.vk, но наверное он возвращает данные в виде строки, которая представляет собой JSON. Используйте любую из готовых библиотек, чтобы десериализовать данные JSON.
double si = 1.0 / 6; // initial value for i = 1
double s = 0;
int i = 2;
double eps = double.Parse(Console.ReadLine());
while (Math.Abs(si) >= eps)
{
s += si;
si = -1 * si * (i - 1) / (i + 2);
i++;
}
Console.WriteLine(s);
Console.ReadLine();