Алексей Скобкин

1. Если я скачаю данное видео с youtube и установлю себе на сайт, нарушаю ли я права автора видео?

Если видео принадлежит автору, не распространяется под CC (подходящей вашему сайту версии) и вами не получено разрешение от автора, то да, нарушаете.

2. Если я зайду на youtube, включу видео и запишу данное видео себе на пк с помощью записи с экрана, а потом выложу на сайт. Этим я нарушу права?

См. выше.

Я бы предложил отдельные хорошие наушники и отдельный хороший микрофон (можно посмотреть на варианты от Samson). Качество будет лучше.