Сергей Явин

Разобрался, необходимо в файл function.php, в моем случае это temlate-fucntion.php, добавить функцию, в которой я обрабатываю запросы $_POST и добавляю поля в мною зарегистрированный пост.
Пример:

function add_applicant_post_callback() {
	$title = sanitize_text_field(stripslashes($_POST['title'])) ?? '';
	$email = sanitize_text_field($_POST['email']) ?? null;
	$phone = sanitize_text_field($_POST['phone']) ?? null;

	// create data for new post
	$post_data = array(
		'post_title'    => sanitize_text_field( $title ),
		'post_status'   => 'publish',
		'post_author'   => 1,
		'post_type'     => 'applicant',
	);

	// create post
	$post_id = wp_insert_post( wp_slash($post_data), true );

	// checking a post for creation
	if( is_wp_error($post_id) ){
		wp_send_json_error($post_id->get_error_message());
	} else {
		require_once(ABSPATH . 'wp-admin/includes/image.php');
		require_once(ABSPATH . 'wp-admin/includes/file.php');
		require_once(ABSPATH . 'wp-admin/includes/media.php');
		
		update_field( 'email', $email, $post_id );
		update_field( 'phone', $phone, $post_id );
	}
	wp_send_json_success();
}
add_action( 'wp_ajax_nopriv_add_applicant', 'add_applicant_post_callback' );
add_action( 'wp_ajax_add_applicant', 'add_applicant_post_callback' );

И чтобы добавить в произвольное текстовое поле данные используем update_field().
wp_ajax_nopriv_add_applicant - необходим для отправки данных для не зарегистрированных пользователей.