Задачу нужно решать в принципе иначе. То, что запущено в tmux, надо запустить с выводом в файл. А на сайт выводить результат парсинга этого файла. Сам файл можно забирать по ssh с ключом, ну или запускать удалённо команду tail:
ssh -i my_id_rsa_key user@foo.bar tail /tmp/script.log
Запускать в tmux и потом ещё возиться с работой интерактивного shell - это чересчур.
