Ильшат Шавалиев

danyfir, для вас больше всего подойдут сервисы транзакционных рассылок.
Выше уже упоминали mandrill и mailgun, можно еще посмотреть на sendgrid и sparkpost.
Дешевле всего такие письма отправлять через Amazon SES, но там нужно заморочиться и настроить обработку баунсов и других ответов от почтовых серверов с помощью Amazon SNS, а вышеупомянутых сервисах эта обработка уже настроена.

Два варианта решения проблемы:

1. Если есть доступ к админке вордпресса, установить любой плагин для отправки почты через SMTP. Таких плагинов много, вот пример плагина и его настройки: https://www.siteground.com/tutorials/wordpress/use...
   
2. С помощью FTP отредактировать файл wp-config.php, прописать там отправку почты с помощью SMTP. Плагины из первого пункта именно это и делают, предоставляя удобный интерфейс. Пример настройки: https://wordpress.org/plugins/wp-smtp-config/