Зависит от железа, настроек операционки, настроек самого постгреса и от того, что за запросы к нему будут. Хороший кластер держит 30 000 запросов (сферических в вакууме) в секунду. В теории можно разогнать до значений на порядок больших.
Во-первых, перехватывать широкие исключения - это антипаттерн. Во-вторых, метод execute курсора принимает кортеж, а вы ему передаёте какое-то скалярное значение.
На 99.99% уверен, что вам это не нужно. По крайней мере у сотни других пользователей, которые задали здесь такой же вопрос, это решалось другим способом.
Во-первых, работать напрямую с БД из Django - такая себе идея. Во-вторых, судя по симптомам, у вас где-то открываются соединения, но не закрываются. Небось ещё и потоки или асинхронность используете?