Нашел способ. Нужно скачивать видео тоже через Curl
// Функция загрузки видео
function videoDownload($url) {
$filename = uniqid();
$fp = fopen($filename . ".mp4", 'w'); // Путь скачивания
$ch = curl_init($url);
curl_setopt($ch, CURLOPT_USERAGENT, 'Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/98.0.4758.102 Safari/537.36'); // Обязательный параметр, без него не скачивается
curl_setopt($ch, CURLOPT_FILE, $fp);
$data = curl_exec($ch);
curl_close($ch);
fclose($fp);
}