HttpPost устарел. Что используем вместо?

У него в лицензиях апач присутствует. Те же грабли, нет?

Какой использовать алгоритм получения картинок?

Maxim: например?

Какой паттерн использовать для приложения с уведомлениями?

Надо ещё потестировать, но видимо решение такое:
android:taskAffinity=""
android:clearTaskOnLaunch="true"
android:excludeFromRecents="true"
android:finishOnTaskLaunch="true"
android:noHistory="true"
android:launchMode="singleTask"

Какой паттерн использовать для приложения с уведомлениями?

криво то как всё здесь...
если так
...
android:name=".ActivityC"
android:noHistory="true"
....

то лучше не становится.
В списке recent основное активити заменяется на С.

Какой паттерн использовать для приложения с уведомлениями?

если так

то лучше не становится.
В списке recent основное активити заменяется на С.