https - это "протокол" шифрования http трафика (не совсем конечно так, но упрощаем). Он ничего не знает про браузер, ничего не знает про табы, как отображать данные, и тп. Он просто передают данные. Им могут пользоваться как браузеры, так и скрипты, программы и тп.
Поэтому, в нём не может быть ничего лишнего. (ибо всё это лишнее - нужно реализовывать в каждом сервере по всему миру. При этом. 99.999% сайтам это не нужно).
Вы же говорите, уже про уровень "вашего приложения". Оно может использовать ХТТП, а может и не использовать.
Если вам нужно сделать чтобы в каждом окне одно и тоже приложение отображалось по разному, т.е. чтобы были разные "сессии", то это уже ваша логика.
Для этого у вас есть разные варианты, в частности, самый простой - передавать номер сессии всегда в адресе, в параметрах запроса. Или же, сделать чтобы было постоянное соеденение с сервером, например через вебсокет. Открылся второй таб с той же сессией - разрывать в первом табе конект, или же не давать открыть второй конект с той же сессией. Варианты есть :)