По какой причине внутри jQuery блока не обновляется значение переменной?

Ну почему в console.log(row) undefined ясно невооружённым взглядом - row заявлена просто.
Мне интересно, каким непостижимым образом ты что-то делаешь внутри этой фигни - jQuery(function($){…});
Откуда ты в неё заходишь?

Почему сбивается кодировка?

Максим, и не будет работать, нет такого метода. Так попробуй.

$link = mysqli_connect($host, $user, $password, $database);
mysqli_set_charset($link, "utf8");

Почему сбивается кодировка?

А как получается, что charset устанавливается соединению до создания соединения?

$link->set_charset("utf8");
$link = mysqli_connect($host, $user, $password, $database)

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

http://exas.com
http://exas.com/?r=site/index
http://exas.com?r=site/index
http://exas.com/index.php
http://exas.com/index.php?r=site/index
http://exas.com/site/index

Все на 404 ведут, и /controllers/SiteController::actionIndex() есть?
Файл точно .htaccess (точка в начале) называется?

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

Вот теперь секцию urlManager приведи в такой вид:

'urlManager' => [
            'enablePrettyUrl' => true,
            'showScriptName' => false,
            'rules' => [
                '<controller:\w+>/<action:\w+>' => '<controller>/<action>',
            ],
        ],

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

маньяк.
Ты конфиг покажешь, чтобы я рассказал что с ним делать?

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

Значит его нет. Тогда, разумеется, что ему /site/index - пустые буквы
Конфиг давай.

Сделай .htaccess
В нём:

RewriteEngine on

RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-f
RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-d

RewriteRule . index.php

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

ну да, в спойлер поставь. И .htaccess

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

давай текст .htaccess и /config/web.php

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

http://exas.com?r=site/index тоже 404 показывает?

Попробуй http://127.0.0.1/?r=site/index

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

ты die(__FILE__) то убери уже из index.php

Как установить время таймера из ответа json?

А где находится переменная timeRemain?

Рекомендую сделать так:

if (this.readyState == 4 && this.status == 200) {
          try{
              var data = JSON.parse(this.responseText);
              timeRemain = data["remain"] * 1000; // значение для переменной
          } catch(err){
              console.error(err);
          }
        }

Возможно, что-то умное покажет.
Кстати, а что говорит console.trace(data['remain'])?

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

Ну понятно что выдаёт. Не может он понять куда ему идти. Смотри лог /runtime/logs/app.log. Попробуй открыть адрес http://exas.com?r=site/index.

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

adrash kh, да.
Теперь ищи почему 404 ошибка.
Начни с ЧПУ, коли он редиректит на /site/login. Рядом с /web/index.php лежит же .htaccess ?

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

в /web/index.php вверху после <?php die(__FILE__);
Если будет в браузере строчка с именем этого файла, значит сервер настроен правильно, и всё работает. Дальше нужно пытать всё внутри сайта.

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

окак.
Может, покуришь отличные справочники по Yii2?
Настоятельно рекомендую https://yiiframework.com.ua/ru/doc/guide/2/
Никто его тут полностью тебе писать не станет.

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

Вот туда он должен попадать. Если не находит /site/login, значит смотри настройки urlManager'a в /config/main (или /config/app).

У тебя ЧПУ включены?

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

Посмотри логи сайта. /runtime/logs/app.log
Там много полезного написано.

Когда я отрываю yii проект на сервере, то в documentRoot что прописывать?

я указал exas.com он автоматически добавляет туда exas.com/site/login

Стало быть, редиректит на /site/login, значит сервер работает.

Ищи контроллер /controllers/SiteController, и смотри что не так, есть метод actionLogin, или нет, или фильтры какие стоят…

Как писать большие парсеры каталогов, сайтов на php?

Ну, я собственно свои пять копеек вставил на вопрос

Хотел бы спросить ваши методы и архитектуру работы парсеров,

Я сделал оболочку на дельфях, там хоть потоками, хоть чем скачивается документ, создаётся браузер, в нём запускается, потом парсится средствами JavaScript.